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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie \\
		\normalsize Blatt 3 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{TutorIn:} Mein(e) Lieblingstutor(in)
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~19 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 3.1} \hfill 	\textbf{[0,5+1+0,5+2 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $R:=\Z$, $\alpha\in\C$ eine Nullstelle von $f\in\Q[x]$ und $L:=\Q(\alpha)$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Betrachten Sie $f(x):=x^3+2x+1$.
					\begin{enumerate}[(i)]
						\item Beweisen Sie, dass $f$ irreduzibel über $\Q$ ist.
						\item Zeigen Sie, dass $\{1,\alpha,\alpha^2\}$ eine Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$ ist.
					\end{enumerate}
		\item Betrachten Sie $f(x):=x^3+x+4$. 
					\begin{enumerate}[(i)]
						\item Beweisen Sie, dass $f$ irreduzibel über $\Q$ ist.
						\item Zeigen Sie, dass $\{1,\alpha,\alpha^2\}$ eine Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$ ist.
					\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	\\\\
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 3.2} \hfill 	\textbf{[0,5+1+2+0,5 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $R:=\Z$, $\alpha\in\C$ eine Nullstelle von $f(x):=x^3-x^2-2x-8\in\Q[x]$, $L:=\Q(\alpha)$ und $\beta:=\frac{\alpha+\alpha^2}{2}$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie, dass $f$ irreduzibel über $\Q$ ist.
		\item Zeigen Sie $\beta^3-3\beta^2-10\beta-8=0$.
		\item Bestimmen Sie $D(1,\alpha,\beta)$.
		\item Folgern Sie, dass $\{1,\alpha,\beta\}$ eine Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$ ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:}
	 
	 \
	 \newpage
	  \textbf{Aufgabe 3.3} \hfill 	\textbf{[3+1 Punkte]}	
	  \\[3pt] Sei $L$ ein Zahlkörper über $\Q$ des Grades $n:=[L:\Q]\in\N$ und $\mathcal{B}:=\{v_1,\ldots,v_n\}\subseteq \mathcal{O}_L$ eine $\Q$-Basis von $L/\Q$.
	  \begin{enumerate}[(a)]
	  	\item Beweisen Sie, dass wenn der Absolutbetrag $\vert D(v_1,\ldots,v_n)\vert \in\N$ der Diskriminante von $\mathcal{B}$ minimal über alle Basen von $L/\Q$ ist, $\mathcal{B}$ eine Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$ ist.
	  	\item Folgern Sie einen Algorithmus zur Ermittlung einer Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$.
	  \end{enumerate}
	 
	 \textbf{Lösung:} 
	 \\\\
	 
	 \
	
	\textbf{Aufgabe 3.4*} \hfill 	\textbf{[3+1 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $R:=\Z$, $\alpha\in\C$ eine Nullstelle von $f(x):=x^3-x^2-2x-8\in\Q[x]$, $L:=\Q(\alpha)$ und $\gamma\in\mathcal{O}_L$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie, dass $D(1,\gamma,\gamma^2)$ gerade ist.
		\item Folgern Sie, dass $\{1,\gamma,\gamma^2\}$ keine Ganzheitsbasis von $\mathcal{O}_L$ über $\Z$ ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 
	
	\
		
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 08.\ Juli 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor / die Tutorin. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}